Oletetaan, että meillä on 4×8 palan kokoinen suklaalevy. Sanotaan katkaisuksi sitä, kun levy katkaistaan yhdellä taitolla palojen välistä uraa pitkin kahdeksi pienemmäksi levyksi.
Kuinka monta katkaisua tarvitaan, että koko levy on katkottu yksittäisiksi palasiksi? Mikä on optimaalinen tapa tehdä se mahdollisimman vähillä katkaisuilla vai onko sellaista tapaa? Todista.
like this
reshared this
Petri Salmela
in reply to Petri Salmela • • •Matematiikka reshared this.
Petri Salmela
Unknown parent • • •Matematiikka reshared this.
timitii
Unknown parent • • •Mietin et eiks tällein mee 19 taitolla (edit: ei mee, mut ehkä sillä 31 menee!), eka punasia pitkin, sit siniset, sit keltaiset:
No heti pikainen edit, siniset pitääkin nelinkertaistaa (:
Matematiikka reshared this.
Outi 🦊🌱🌍🌈
in reply to Petri Salmela • • •Matematiikka reshared this.
Outi 🦊🌱🌍🌈
in reply to Outi 🦊🌱🌍🌈 • • •Matematiikka reshared this.
timitii
in reply to Petri Salmela • • •Opettaja joskus lupasi myös levyn suklaata sille, joka ensimmäisenä keksii ratkaisun pulmaan:
Suklaalevyn saa omalla vuorolla taittaa viivoja pitkin mistä kohdasta tahansa ja valita kumpi puoli jätetään peliin ja kumpi poistetaan. Pelaajia on kaksi, molemmat taittavat omalla vuorollaan kerran. Voittaja on se, jonka vuorolla jäljelle jää yksi pala. Miten voit voittaa pelin joka kerta?
Toivottavasti muistin ongelman oikein ja sain selitettyä tarpeeksi selvästi.
Matematiikka reshared this.
timitii
in reply to Petri Salmela • • •Matematiikka reshared this.
timitii
in reply to timitii • • •Jotenkin myös pyörii päässä ajatus esittää suklaalevy vaan jonona, ku eiks ne pituusssuunnassa tehtävät 3 taitosta vois vaan ajatella yksittäisiä jonoja yhdistävinä taitoksina ja sillonhan meillä on 32 pitkä jono, jonka taitteluun tarvii sen 31 liikettä.
Nyt koitan sammuttaa sen vähänki mikä aivoissa on hereillä ja jään odottamaa todistusta, koska en sellaisia osaa itse muodostaa.
Matematiikka reshared this.
Petri Salmela
in reply to timitii • • •@timitii
Aivan oikein.
Katkaisuja tarvitaan aina tasan tuo 31. Ei väliä, missä järjestyksessä ja miten päin levy katkotaan.
Myöskään levyn mittasuhteilla ei ole väliä. Ainoastaan palojen määrällä. Eli aivan sama, onko alkuperäinen levy 4×8, 2×16 vai 1×32.
Yleisesti n palan levyn pilkkomiseen tarvitaan n-1 katkaisua.
Matematiikka reshared this.
Petri Salmela
in reply to Petri Salmela • •@Matematiikka
Kokeilen laittaa ratkaisun spoilerivaroituksen taakse piiloon.
Vastaus: 31 katkaisua. Katkaisutavalla ei ole väliä, sillä määrä on sama riippumatta siitä, muten katkoo.
Yleisesti n palan levyn (muodosta riippumatta) pilkkomiseen tarvitaan n-1 katkaisua.
Matematiikassa hyvin vahva, ellei vahvin, työkalu on "hajoita ja hallitse", eli ongelman pilkkominen pienempiin ja helpompiin osiin. Suklaalevyn tapauksessa yksi katkaisu jakaa ongelman kahteen pienempään levyyn. Katkaisuja tarvitaan siis pienten levyjen pilkkomisen summa plus tuo yksi.
Toinen vahva työkalu on matemaattinen induktio.
... Show more...Induktio tarvitsee:
- lähtökohdan (väite on tosi jossain pienessä tapauksessa),
- induktio-oletuksen (oletetaan, että väite on tosi johonkin kokoon saakka) ja
- induktioaskeleen (huomataan, että väite pitää paikkansa myös seuraa
@Matematiikka
Kokeilen laittaa ratkaisun spoilerivaroituksen taakse piiloon.
Vastaus: 31 katkaisua. Katkaisutavalla ei ole väliä, sillä määrä on sama riippumatta siitä, muten katkoo.
Yleisesti n palan levyn (muodosta riippumatta) pilkkomiseen tarvitaan n-1 katkaisua.
Matematiikassa hyvin vahva, ellei vahvin, työkalu on "hajoita ja hallitse", eli ongelman pilkkominen pienempiin ja helpompiin osiin. Suklaalevyn tapauksessa yksi katkaisu jakaa ongelman kahteen pienempään levyyn. Katkaisuja tarvitaan siis pienten levyjen pilkkomisen summa plus tuo yksi.
Toinen vahva työkalu on matemaattinen induktio.
Induktio tarvitsee:
- lähtökohdan (väite on tosi jossain pienessä tapauksessa),
- induktio-oletuksen (oletetaan, että väite on tosi johonkin kokoon saakka) ja
- induktioaskeleen (huomataan, että väite pitää paikkansa myös seuraavalla koolla, ja sitä seuraavalla ja...).
Todistetaan, että n palan levyn pilkkomiseen tarvitaan n-1 katkaisua.
1) Lähtökohta n=2 (kahden palan levy):
Yksi katkaisu (2-1) ja levy on pilkottu. Toimii!
2) Induktio-oletus:
Väite toimii, kun n on pienempi kuin jokin k.
3) Induktioaskel n=k:
Otetaan k palan levy ja katkaistaan se kerran. Saadaan kaksi alle k:n kokoista levyä, joiden koot ovat m ja k-m. Induktio-oletus on voimassa näille molemmille, eli ne voidaan pilkkoa m-1 ja k-m-1 katkaisulla.
Yhteensä k palan levyn pilkkomiseen tarvitaan siis yksi katkaisu ja molempien pienempien pilkkominen:
1 + m-1 + k-m-1 = k-1
katkaisua, kuten väitettiin.
Eli mikä tahansa n palan levyn pilkkomiseen (levyn mittasuhteista riippumatta) tarvitaan täsmälleen n-1 katkaisua.
like this
Matinoitunut Rutkustaja, Outi 🦊🌱🌍🌈 and JuhaS like this.
Matematiikka reshared this.